Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu

80/235

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - my + z + 3m - 2 = 0\). Gọi \(P\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \). Tính tổng các phần tử của \(P\)?

\(\frac{{ - 7}}{3}\).

\(\frac{{ - 4}}{3}\).

\(\frac{{ - 5}}{3}\).

\(\frac{{ - 8}}{3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đường tròn cắt mặt phẳng \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R\)

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + {2^2} + 9 - \left( { - 2} \right)} = 4\)

Ta có \(:d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2m - 3 + 3m - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + 1} }} = \frac{{\left| {m - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + 1} }}\)

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi \(6\pi \Rightarrow r = 3\)

Ta có: \({R^2} = {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right) + {r^2} \Rightarrow {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right) = {R^2} - {r^2} = 16 - 9 = 7\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(m - 4)}^2}}}{{2 + {m^2}}} = 7 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 16 = 14 + 7{m^2} \Leftrightarrow 6{m^2} + 8m - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{{ - 2 + \sqrt 7 }}{3}}\\{m = \frac{{ - 2 - \sqrt 7 }}{3}}\end{array} \Rightarrow P = \left\{ {\frac{{ - 2 + \sqrt 7 }}{3};\frac{{ - 2 - \sqrt 7 }}{3}} \right\}} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tổng các phần tử của \(P\) bằng \(: - \frac{4}{3}\)