Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng alpha

Phương pháp giải

Do Phương trình mặt phẳng ( \(\alpha \) ) song song với \(\left( P \right):2x + y - 2z + 11 = 0\) có dạng \(\left( \alpha \right):2x + y - 2z + m = 0\left( {m \ne 11} \right)\).
Tính \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right)\) và lập phương trình khoảng cách tìm m .

Giải chi tiết

Mặt cầu ( \(S\) ) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} + 11} = 5\).
Chu vi thiết diện bằng \(8\pi \) nên bán kính \(r\) của đường tròn thòa mãn \(8\pi = 2\pi r \Leftrightarrow r = 4d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = 3\).
Phương trình mặt phẳng ( \(\alpha \) ) song song với ( \(P\) ) : \(2x + y - 2z + 11 = 0\) có dạng ( \(\alpha \) ) : \(2x + y - 2z + m = 0\left( {m \ne 11} \right)\).
\(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 2 - 2.3 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = 9 \Leftrightarrow m = 11 \vee m = - 7\). Đố chiếu điều kiện suy ra \(\left( \alpha \right):2x + y - 2z - 7 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A