Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD

79/235

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông \(ABCD,B\left( {3;0;8} \right),D\left( { - 5; - 4;0} \right)\). Biết đỉnh \(A\) thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) bẳng:

\(6\sqrt {10} \)

\(10\sqrt 6 \).

\(10\sqrt 5 \).

\(5\sqrt {10} \).

Giải thích

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có trung điểm BD là \(I\left( { - 1; - 2;4} \right),BD = 12\) và điểm \(A\) thuộc mặt phẳng (\(Oxy\)) nên \(A\left( {a;b;0} \right)\).

ABCD là hình vuông \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = A{D^2}}\\{A{I^2} = {{\left( {\frac{1}{2}BD} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {{{(a - 3)}^2} + {b^2} + {8^2} = {{(a + 5)}^2} + {{(b + 4)}^2}} \right.\)\( \Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b + 2)^2} + {4^2} = 36\)\( \Leftrightarrow \{ b = 4 - 2a\)\( \Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(6 - 2a)^2} = 20\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{17}}{5}}\\{b = \frac{{ - 14}}{5}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{A}}\left( {1;2;0} \right)}\\{A\left( {\frac{{17}}{5};\frac{{ - 14}}{5};0} \right){\rm{\;(Loai)\;}}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {1;2;0} \right) \Rightarrow C\left( { - 3; - 6;8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CA} = \left( {4;8; - 8} \right);\overrightarrow {CB} = \left( {6;6;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \left( {10;14; - 8} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = 6\sqrt {10} \)

Đáp án cần chọn là: A