Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A'(1;0;1), B'(2;1;2), D'(1; - 1;1)
15/22
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A'\left( {1;0;1} \right)\), \(B'\left( {2;1;2} \right)\), \(D'\left( {1; - 1;1} \right)\), \(C\left( {4;5; - 5} \right).\)
Toạ độ điểm \(B\) là \(\left( {4;4; - 5} \right).\)
Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {A'D'} \) là \(\left( {0; - 1;0} \right).\)
\(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} .\)
Trong hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'D'} .\)
a) SAI. \(\overrightarrow {A{\rm{'}}B{\rm{'}}} = \left( {2 - 1;1 - 0;2 - 1} \right) = \left( {1;1;1} \right)\); \(\overrightarrow {A{\rm{'}}D{\rm{'}}} = \left( {1 - 1; - 1 - 0;1 - 1} \right) = \left( {0; - 1;0} \right)\).
Tọa độ điểm \(C{\rm{'}}\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {A{\rm{'}}C{\rm{'}}} = \overrightarrow {A{\rm{'}}B{\rm{'}}} + \overrightarrow {A{\rm{'}}D{\rm{'}}} = \left( {1 + 0;1 - 1;1 + 0} \right) = \left( {1;0;1} \right)\)\( \Rightarrow C{\rm{'}} = \left( {1 + 1;0 + 0;1 + 1} \right) = \left( {2;0;2} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {CC{\rm{'}}} = \left( {2 - 4;0 - 5;2 - \left( { - 5} \right)} \right) = \left( { - 2; - 5;7} \right).\)
Vì \(ABCD.A{\rm{'}}B{\rm{'}}C{\rm{'}}D{\rm{'}}\) là hình hộp nên \(\overrightarrow {BB{\rm{'}}} = \overrightarrow {CC{\rm{'}}} = \left( { - 2; - 5;7} \right).\)
\( \Rightarrow B = B{\rm{'}} - \overrightarrow {BB{\rm{'}}} = \left( {2 - \left( { - 2} \right);1 - \left( { - 5} \right);2 - 7} \right) = \left( {4;6; - 5} \right).\)
b) ĐÚNG. \(\overrightarrow {A'D'} = \left( {{x_{D{\rm{'}}}} - {x_{A{\rm{'}}}};{y_{D{\rm{'}}}} - {y_{A{\rm{'}}}};{z_{D{\rm{'}}}} - {z_{A{\rm{'}}}}} \right) = \left( {1 - 1; - 1 - 0;1 - 1} \right) = \left( {0; - 1;0} \right).\)
c) ĐÚNG. Theo quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} .\)
d) ĐÚNG. Trong hình hộp, các cạnh đối diện song song và bằng nhau, cặp vectơ cùng hướng \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {B{\rm{'}}C{\rm{'}}} \) bằng nhau, đồng thời \(\overrightarrow {B{\rm{'}}C{\rm{'}}} = \overrightarrow {A{\rm{'}}D{\rm{'}}} \). Do đó \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'D'} .\)