Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 5 = 0 và mặt cầu

41/49

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 5 = 0 và mặt cầu S: x2 + y2 + z2 −2x + 4y −6z −11 =0. Gọi M là điểm di động trên (S) và N là điểm di động trên (P) sao cho MN luôn vuông góc với (Q). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng

9+53

14

28

3+53

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) có VTPT nP→=1; −1; 1, mặt phẳng (Q) có VTPT nQ→=1; 2; −2.

Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M,N nhận nQ→=1; 2; −2 làm VTCP, Δ luôn cắt (P), gọi φ là góc giữa Δ và(P), H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Ta có sinφ = cosnP→, nQ→=13

ΔMNH vuông tại H ⇒MN.sinφ = MH⇒ MN = MHsinφ = 3. MH

MH=dM, P≤R + dI, P=5 + 33, ∀ M∈S⇒ MN = 3MH ≤ 9+ 53 .

.

Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng 9 + 53.