Đáp án: 2.

Đáp án: 2. (ảnh 1)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có: \(I\left( {1\,;0\,; - 2} \right),\,\,R = 5\).

Gọi \(O\) là hình chiếu của \(I\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) giao với mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn tâm \(O\), đường thẳng \(d\) cắt đường tròn tâm \(O\) theo dây cung BC.

Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(O\) xuống \(BC\).

Phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đi qua điểm \(I\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 2t}\\{z = - 2 + 2t.}\end{array}} \right.\)

Thay \(x;y;z\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(1 + t - 2 \cdot \left( { - 2t} \right) + 2 \cdot \left( { - 2 + 2t} \right) + 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{9}\)

\( \Rightarrow O\left( {\frac{{10}}{9};\frac{{ - 2}}{9};\frac{{ - 16}}{9}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {\frac{8}{9};\frac{{20}}{9};\frac{{16}}{9}} \right)\).

Khoảng cách từ điểm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(IO = \frac{{\left| {1 - 4 + 2} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow O{B^2} = {R^2} - I{O^2} = \frac{{224}}{9}\).

Ta có: \(BC = 2BH = 2\sqrt {O{B^2} - O{H^2}} = 2\sqrt {\frac{{224}}{9} - O{H^2}} .\)

Mà \(OH \le OA \Rightarrow BC \ge 2\sqrt {\frac{{224}}{9} - O{A^2}} .\)

Dấu “=” xảy ra khi \(A \equiv H\)\( \Rightarrow OA \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OA}}} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow 8a + 20b - 16 = 0\) (1).

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1\,;\,2\,;\,2} \right)\), \(IO \bot d,OA \bot d \Rightarrow d \bot \left( {IOA} \right) \Rightarrow d \bot IA\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{IA}}} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow a + 2b - 2 = 0\) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 0}\end{array} \Rightarrow a + b = 2} \right.\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − 4 = 0 và (Q): 2x − y − 2z + 2 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho bằng