Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có tâm lần lượt là I(-4;-5;0) và J(6;8;3). Mặt cầu (S2) cắt mặt phẳng (Oxy) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính r2

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ và $\left( {{S_2}} \right)$ có tâm lần lượt là \[I\left( { - 4; - 5;0} \right)\] và \[J\left( {6;8;3} \right)\]. Mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$ cắt mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] theo thiết diện là một đường tròn có bán kính \[{r_2} = 4\]. Mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có bán kính \[{R_1} = 4\]. Một điểm \[M\] có tọa độ cố định \[M\left( {1;0;10} \right)\]. Một điểm \[C\] di chuyển từ \[M\] đến một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ hoặc $\left( {{S_2}} \right)$. Năng lượng tiêu hao khi di chuyển của điểm \[C\] được xác định bởi hàm số \[E\left( s \right) = \frac{1}{{12}}{s^2}\] (đơn vị năng lượng), trong đó \[s\] là độ dài quãng đường di chuyển. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau.

Bán kính của mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$ bằng \[5\].

ĐúngSai

Năng lượng tối thiểu để điểm \[C\] di chuyển từ \[M\] đến bề mặt khối cầu tâm \[I\] là \[\frac{{175 - 50\sqrt 6 }}{{12}}\] (đơn vị năng lượng).

ĐúngSai

Gọi \[A\] và \[B\] lần lượt là hai điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ và $\left( {{S_2}} \right)$. Độ dài lớn nhất của đoạn \[AB\] có giá trị lớn hơn \[25\].

ĐúngSai

Năng lượng tối thiểu để điểm \[C\] di chuyển vào bên trong khối cầu $\left( {{S_2}} \right)$ nhỏ hơn năng lượng tối thiểu để điểm \[C\] di chuyển vào bên trong khối cầu $\left( {{S_1}} \right)$.

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng.

Ta có: \[d\left( {J,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_J}} \right| = \left| 3 \right| = 3\].

Khi đó, \[{R_2} = \sqrt {{d^2}\left( {J,\left( {Oxy} \right)} \right) + r_2^2} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\].

b) Sai.

$Chọn A Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$. (ảnh 1)$

\[\overrightarrow {IM} = \left( {5;5;10} \right) \Rightarrow IM = \sqrt {{5^2} + {5^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt 6 > 4\]: Điểm \[M\] nằm ngoài mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$.

Do đó, quãng đường tối thiểu điểm \[C\] di chuyển từ \[M\] đến bề mặt khối cầu $\left( {{S_1}} \right)$ là

\[s_1^{\min } = IM - {R_1} = 5\sqrt 6 - 4 \Rightarrow E_1^{\min } = \frac{{{{\left( {5\sqrt 6 - 4} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{166 - 40\sqrt 6 }}{{12}}\] (đơn vị năng lượng).

c) Đúng.

$Chọn A Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$. (ảnh 2)$

\[\overrightarrow {IJ} = \left( {10;13;3} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{{10}^2} + {{13}^2} + {3^2}} = \sqrt {278} > {R_1} + {R_2} = 4 + 5 = 9\].

Khi đó, \[A{B_{\max }} = IJ + {R_1} + {R_2} = \sqrt {278} + 9 \approx 25,6733 > 25\].

d) Đúng.

\[\overrightarrow {JM} = \left( { - 5; - 8;7} \right) \Rightarrow JM = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {138} > 5\]: Điểm \[M\] nằm ngoài mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$.

Do đó, quãng đường tối thiểu điểm \[C\] di chuyển từ \[M\] đến bề mặt khối cầu $\left( {{S_2}} \right)$ là

\[s_2^{\min } = JM - {R_2} = \sqrt {138} - 5 \Rightarrow E_2^{\min } = \frac{{{{\left( {\sqrt {138} - 5} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{163 - 10\sqrt {138} }}{{12}} < E_1^{\min }\].

Vậy năng lượng tối thiểu để điểm \[C\] di chuyển vào bên trong khối cầu $\left( {{S_2}} \right)$ nhỏ hơn năng lượng tối thiểu để điểm \[C\] di chuyển vào bên trong khối cầu $\left( {{S_1}} \right)$.