Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S1)

50/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu S1:x−22+y+32+z−12=4 và S2:x−32+y+12+z+12=1. Gọi M là điểm thay đổi, thuộc mặt cầu S2sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua M, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu S1 theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là:

8π

46π

230π

4π

Giải thích

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S1) (ảnh 1)

Mặt cầu S1:x−22+y+32+z−12=4 có tâm I12;−3;1, bán kính R1=2.

Mặt cầu S2:x−32+y+12+z+12=1 có tâm I23;−1;−1, bán kính R2=1.

Ta có: I1I2=12+22+−22=3=R1+R2.

⇒S1,S2 tiếp xúc ngoài.

Gọi P,Q,R là 3 mặt phẳng đi qua M đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu S1 theo ba đường tròn.

Gọi H1,H2,H3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của I1 lên P,Q,R.

r1,r2,r3 theo thứ tự là bán kính các đường tròn tâm H1,H2,H3.

Khi đó ta có I1H12+I1H22+I1H32=I1M2

⇔4−r12+4−r22+4−r32=I1M2

Tổng chu vi 3 đường tròn là:

T=2πr1+2πr2+2πr=2πr1+r2+r3

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

r1+r2+r32≤12+12+12r12+r22+r32

⇒r1+r2+r3≤312−I1M2

⇒T≤2π312−I1M2≤2π312−R12=2π312−4=4π6.

Vậy Tmax=4π6. Dấu “=” xảy ra khi r1=r2=r3,I1M=2.

Chọn B.