Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x=2t; y=t; z=4

32/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x=2ty=tz=4 và d2:x=3−t'y=t'z=0. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2.

S:x+22+y+12+z+22=4.

S:x−22+y−12+z−22=16.

S:x−22+y−12+z−22=4.

S:x+22+y+12+z+22=16.

Giải thích

Đáp án C

Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I và H,K lần lượt là hình chiếu của I lên các đường thẳng d1,d2.

Ta có: IH+IK≥HK≥ad1,d2. Dấu bằng khi HK là đường vuông góc chung của d1,d2và I là trung điểm của HK.

Khi đó: H2a,a,4 và K3−b,b,0⇒KH¯2a+b−3;a−b;4

Đường thẳng d1,d2 có vecto chỉ phương lần lượt là u1¯=2;1;0 và u2¯−1;1;0 nên:

KH¯.u1¯=0KH¯.u2¯=0⇔22a+b−3+a−b+0.4=0−2a+b−3+a−b+0.4=0⇔2a+b−3=a−b=0⇔a=b=1

Suy ra trung điểm của HK là I2;1;2 và bán kính của mặt cầu (S) là R=HK2=2.