Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: (x - 1)/2 = (y - 2)/(-2) = (z + 1)/(-1) và d2: x = t y = 0 z = -t. Mặt phẳng (P) qua d1 tạo với d2 một góc 45 độ và nhận vectơ

Đáp án đúng là: -4

Phương pháp giải:

Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng. Thiết lập hệ phương trình dựa vào yếu tố song song/nằm trong và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\vec u \cdot \vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec n} \right|}}\).

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của \({d_1}\) là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2; - 1} \right)\). Vectơ chỉ phương của \({d_2}\) là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) nên \(\vec n \cdot \overrightarrow {{u_1}} = 0 \Leftrightarrow 1\left( 2 \right) - 2b - c = 0 \Rightarrow c = 2 - 2b\) (1).

Góc giữa \({d_2}\) và \(\left( P \right)\) là ${45}^{°}$, ta có: $\sin {45}^{°}=\frac{\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{u_2}\right|}\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\left|1-c\right|}{\sqrt{1+b^2+c^2}\cdot \sqrt{2}}\iff 1=\frac{\left|1-c\right|}{\sqrt{1+b^2+c^2}}$

\( \Leftrightarrow 1 + {b^2} + {c^2} = {\left( {1 - c} \right)^2} \Leftrightarrow {b^2} + 2c = 0\) (2).

Thế (1) vào (2), ta được: \({b^2} + 2\left( {2 - 2b} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4b + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {b - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow b = 2\).

Suy ra \(c = 2 - 2\left( 2 \right) = - 2\).

Vậy tích \(b \cdot c = 2 \cdot \left( { - 2} \right) = - 4\).