Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d: x = - mt; y = 2 – 3t; z = 1 + (2m + 1)t và d’: (x + 3)/ (- 1) = (y – 1)/(2m) = (z – 2)/3 với m ∈ ℝ∖{0}. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                 b) Đúng.             c) Sai.                 d) Đúng.

a) Đúng. Dựa vào phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta có đường thẳng d đi qua điểm A(0; 2; 1).

b) Đúng. Thay B(−3; 1; 2) vào đường thẳng d’ ta có:

\(\frac{{ - 3 + 3}}{{ - 1}} = \frac{{1 - 1}}{{2m}} = \frac{{2 - 2}}{3} = 0\).

Vậy B thuộc đường thẳng d’.

c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - m; - 3;2m + 1} \right)\).

d) Đúng. Với m = − 3 thay vào đường thẳng d:

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + \left( { - 3 \cdot 2 + 1} \right)t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\).

Phương trình tham số của đường thẳng d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t - 3}\\{y = 2mt + 1}\\{z = 3t + 2}\end{array}} \right.\)

Với m = − 3 thay vào đường thẳng d’ có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t - 3}\\{y = \left( { - 3} \right) \cdot 2t + 1}\\{z = 3t + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t - 3}\\{y = - 6t + 1}\\{z = 3t + 2}\end{array}} \right.\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 3; - 5} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1; - 6;3} \right)\).

\(\overrightarrow {{u_d}} \cdot \overrightarrow {{u_{d'}}} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 6} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot 3 = 0\).

Vậy hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.