Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

34/235

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa \[d\] và \[d'\] đồng thời cách đều hai đường thẳng đó?

\[\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\]

\[\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{2}\].

\[\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\].

\[\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\]

Giải thích

\(d\) đi qua \(A\left( {2;1;4} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2; - 2} \right)\).

\[d'\] đi qua \(B\left( {4; - 1;0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = - \overrightarrow {{u_2}} \) và \(\frac{{2 - 4}}{1} \ne \frac{{1 + 1}}{{ - 2}} \ne \frac{4}{2}\) nên \(d\,{\rm{//}}\,d'\).

Đường thẳng \(\Delta \) thuộc mặt phẳng chứa \[d\] và \[d'\]đồng thời cách đều hai đường thẳng đó khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \,{\rm{//}}\,d\,{\rm{//}}\,d'\\d\left( {\Delta ,d} \right) = d\left( {\Delta ,d'} \right)\end{array} \right.\) hay \(\Delta \) qua trung điểm \(I\left( {3;0;2} \right)\) của \(AB\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;2} \right)\). Khi đó phương trình của \(\Delta \): \[\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\]. Chọn C.