Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đoạn thẳng AB và CD . Biết tọa độ các điểm A ( 1 ; 1 ; 1 ) , B ( 2 ; 3 ; 1 ) , C ( 3 ; 1 ; 3 ) , D ( 3 ; 2 ; 4 ) . Hai điểm M , N thay đ

a) Đúng.

Ta có điểm \[M\]thuộc đoạn \[AB\] nên \[M(1 + t;1 + 2t;1);\,t \in \left[ {0;1} \right]\].

Điểm \[N\]thuộc đoạn \[CD\] nên \[N(3;1 + s;3 + s);\,s \in \left[ {0;1} \right]\].

\[M{N^2} = {(t - 2)^2} + {(2t - s)^2} + {(s + 2)^2} = 5{t^2} - 4t(s + 1) + 2({s^2} + 2s + 1) + 6\]

\[M{N^2} = 5{\left[ {t - 2(s + 1)} \right]^2} + \frac{6}{5}{(s + 1)^2} + 6 = 5{\left[ {t - 2(s + 1)} \right]^2} + \frac{6}{5}{s^2} + \frac{{12}}{5}s + \frac{{36}}{5} \ge \frac{{36}}{5}\]

\[M{N^2} \ge \frac{{36}}{5} \Leftrightarrow M{N_{\min }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\].

b) Sai.

Mặt phẳng chứa \[CD\] và song song với \[AB\] có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB}  = (1;2;0)\] và \[\overrightarrow {CD}  = (0;1;1)\].

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = (2; - 1;1)\].

Phương trình mặt phẳng cần lập là \[2(x - 3) - (y - 1) + (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + z - 8 = 0\].

c) Sai.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \[AB\]là \[\overrightarrow {AB}  = (1;2;0)\].

Phương trình đường thẳng \[AB\]là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1\end{array} \right.\,\,;t \in \mathbb{R}\].

Điều kiện cần và đủ để điểm \[M\]thuộc đoạn \[AB\] là \[MA + MB = AB\]

\[\begin{array}{l}MA + MB = AB \Leftrightarrow \sqrt {{{(1 + t - 1)}^2} + {{(1 + 2t - 1)}^2} + {{(1 - 1)}^2}}  + \sqrt {{{(1 + t - 2)}^2} + {{(1 + 2t - 3)}^2} + {{(1 - 1)}^2}} \\ = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {0^2}} \\ \Leftrightarrow \left| t \right| + \left| {t - 1} \right| = 1\,\, \Leftrightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\end{array}\]

Suy ra \[( * )\]không đúng với số t bất kỳ

d) Đúng.

Côsin góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {CD} \] là:

\[\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \frac{{1.0 + 2.1 + 0.1}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\].