Đáp án: 1,06

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3, góc ABC = 60 độ và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD. Biết (ảnh 1)

Bước 1: Phân tích các thông số của mặt đáy

Đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh bằng 3, có góc $\hat{A B C}$ = 60° nên tam giác $A B C$ là tam giác đều cạnh 3.

Suy ra đường chéo $A C = 3$ . Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ , ta có $O$ là trung điểm của $A (2; 1; 4), B (4; 5; - 2)$ và $B D$ , đồng thời $A C ⊥ B D$ tại $O$ .

Tính độ dài $A O = \frac{A C}{2} = 1.5$ .

Tính độ dài $B O = A B \cdot s i n (60^{°}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow B D = 3 \sqrt{3}$ .

Bước 2: Sử dụng góc nhị diện để tìm chiều cao SA

Gọi $P, Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M, N$ lên mặt phẳng $(A B C D)$ . Vì $S A ⊥ (A B C D)$ và $M, N$ là trung điểm của $S B, S D$ nên $P, Q$ chính là trung điểm của $A B, A D$ .

Đoạn $M N / / S A$ và $M P = \frac{S A}{2}$ . Gọi $S A = h$ , ta có $M P = N Q = \frac{h}{2}$ .

Từ $P$ , kẻ $P K ⊥ A C$ tại $K$ . Theo định lý ba đường vuông góc, ta có $M K ⊥ A C$ . Do tính chất đối xứng của hình thoi, $Q K ⊥ A C$ và $N K ⊥ A C$ tại cùng điểm $K$ .

Từ đó, góc nhị diện $[M, A C, N]$ chính là góc $\hat{M K N}$ = 120°.

Xét $Δ A B C$ đều, $P$ là trung điểm AB. Độ dài $P K = A P \cdot s i n (60^{°}) = 1.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ . Qua đối xứng, $Q K = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

Áp dụng định lý Pytago trong $Δ M P K$ vuông tại $P$ :

$M K^{2} = M P^{2} + P K^{2} = \frac{h^{2}}{4} + \frac{27}{16}$

Tương tự, $N K^{2} = \frac{h^{2}}{4} + \frac{27}{16}$ .

Xét đoạn $P Q$ là đường trung bình của $Δ A B D \Rightarrow P Q = \frac{B D}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ . Đoạn $M N$ là đường trung bình của $Δ S B D \Rightarrow M N = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Áp dụng định lý Cô-sin trong $Δ M K N$ :

$M N^{2} = M K^{2} + N K^{2} - 2 \cdot M K \cdot N K \cdot c o s (\hat{M K N})$

$(\frac{3 \sqrt{3}}{2})^{2} = 2 \cdot M K^{2} - 2 \cdot M K^{2} \cdot (- 0.5) = 3 \cdot M K^{2}$

$\frac{27}{4} = 3 (\frac{h^{2}}{4} + \frac{27}{16})$

$\frac{9}{4} = \frac{h^{2}}{4} + \frac{27}{16} \Rightarrow \frac{h^{2}}{4} = \frac{36}{16} - \frac{27}{16} = \frac{9}{16} \Rightarrow h^{2} = \frac{9}{4} \Rightarrow h = 1.5$

Vậy chiều cao $S A = 1.5$ .

Bước 3: Tính khoảng cách từ C đến (SBD)

Vì $O$ là trung điểm của $A C$ và $O \in (S B D)$ nên khoảng cách từ $C$ đến $(S B D)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(S B D)$ : $d (C, (S B D)) = d (A, (S B D))$

Từ $A$ , kẻ $A H ⊥ S O$ tại $H$ .

Ta có $B D ⊥ A O$ và $B D ⊥ S A$ nên $B D ⊥ (S A O) \Rightarrow B D ⊥ A H$ .

Vì $A H ⊥ S O$ và $A H ⊥ B D$ nên $A H ⊥ (S B D)$ . Vậy $d (A, (S B D)) = A H$ .

Xét tam giác vuông SAO vuông tại $A$ với đường cao AH:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A O^{2}} = \frac{1}{1.5^{2}} + \frac{1}{1.5^{2}} = \frac{1}{2.25} + \frac{1}{2.25} = \frac{2}{2.25} = \frac{8}{9}$

$A H^{2} = \frac{9}{8} \Rightarrow A H = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \approx 1, 06$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 4), B (4; 5; -2). Vectơ AB có tọa độ là