Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; −1) và B(1; 2; 3). Gọi M là điểm thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và nhận vecto n = (5; - 3;2) l

14/25

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; −1) và B(1; 2; 3). Gọi M là điểm thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và nhận \(\overrightarrow n = \left( {5; - 3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là

5x – 3y + 2z – 5 = 0.

5x – 3y + 2z + 5 = 0.

5x – 3y + 2z – 15 = 0.

2x + y – z – 5 = 0.

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi M(x; y; z). Do MA = 2MB và M là điểm thuộc đoạn AB nên \(\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \).

Khi đó: \(\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left( {2 - x;1 - y; - 1 - z} \right) = - 2 \cdot \left( {1 - x;2 - y;3 - z} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - x = - 2\left( {1 - x} \right)}\\{1 - y = - 2\left( {2 - y} \right)}\\{ - 1 - z = - 2\left( {3 - z} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{5}{3}}\\{z = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3}} \right)\).

Phuơng trình mặt phẳng đi qua điểm M và nhận \(\overrightarrow n = \left( {5; - 3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\(5 \cdot \left( {x - \frac{4}{3}} \right) - 3 \cdot \left( {y - \frac{5}{3}} \right) + 2 \cdot \left( {z - \frac{5}{3}} \right) = 0\) ⇔ 5x – 3y + 2z – 5 = 0.