Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A , B lần lượt thuộc các tia Ox , Oy sao cho OA . OB = 4 . Điểm S thuộc mặt phẳng ( Oxz ) sao cho số đo của góc nhị diện [ S , OB ,

Đáp án đúng là: 5,93

Phương pháp giải

Sử dụng tổ hợp tìm xác suất.

Giải chi tiết

Ta có \(SH \bot OA,HK \bot AB \Rightarrow \left[ {S,OB,A} \right] = \angle SOH;\left[ {S,AB,O} \right] = \angle SKH\)
Do \(\angle SOH = \angle SKH = {60^ \circ } \Rightarrow OH = HK = x\)
\({\rm{\Delta }}OAB \sim {\rm{\Delta }}KAH \Rightarrow \frac{{HK}}{{OB}} = \frac{{HA}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{4}{{OA}}}} = \frac{{OA}}{{\sqrt {O{A^2} + \left( {{{\frac{4}{{OA}}}^2}} \right)} }}\)\( \Leftrightarrow x\sqrt {\frac{{O{A^4} + 16}}{{O{A^2}}}} = 4 - \frac{{4x}}{{OA}}\)\( \Leftrightarrow x \cdot \sqrt {O{A^4} + 16} = 4OA - x\)\( \Leftrightarrow x\left( {4 + \sqrt {O{A^4} + 16} } \right) = 4OA\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{4OA}}{{4 + \sqrt {O{A^4} + 16} }}\)Ta có \(SH = x\;{\rm{tan}}SOH = x\sqrt 3 \Rightarrow S\left( {x,0,x\sqrt 3 } \right)\)
\( \Rightarrow {V_{SOAB}} = \frac{{SH}}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{2}{3}SH\) nên thể tích max khi SH max tức là \({\rm{x\;max}}\)

\(OA = t \Rightarrow x = \frac{{4t}}{{4 + \sqrt {{t^4} + 16} }} \Rightarrow x' = 0 \Leftrightarrow t \approx 2,63\)

Gọi \( \Rightarrow x = 0,877 = a\)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Rightarrow c = x\sqrt 3 = 1,51}\\{\;\;\;\;\;\;\;}&{\; \Rightarrow {a^4} + {c^4} \approx 5,93}\end{array}\)

Đáp án 5,93.

Đáp án cần điền là: 5,93