Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 3 ; − 2 ; 6 ) , B ( 0 ; 1 ; 0 ) và mặt cầu ( S ) : ( x − 1 )^2 + ( y − 2 )^2 + ( z − 3 )^2 = 25 . Mặt phẳng ( P ) : ax + y + cz − 2

32/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3; - 2;6} \right),B\left( {0;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 2 = 0\) đi qua A, B và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\)(nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {a;b;c} \right)\).

Theo giả thiết \(B\left( {0;1;0} \right) \in \left( P \right)\) nên \(b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 6} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến.

\(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(AB\).

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\left( P \right)\).

Ta có: \(K \in AB \Rightarrow K\left( {t;1 - t;2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {t - 1; - t - 1;2t - 3} \right)\).

\(IK \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {IK} = 0 \Rightarrow t = 1\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {0; - 2; - 1} \right)\)

Khi đó \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {25 - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {25 - I{H^2}} \).

Ta có \({r_{\min }} \Leftrightarrow I{H_{\max }}\).

Mà \(IH \le IK \Rightarrow I{H_{\max }} = IK \Leftrightarrow H \equiv K \Rightarrow \left( P \right) \bot IK\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {IK} \) cùng phương.

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = k \cdot \overrightarrow {IK} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 2k\\c = - k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\k = - 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\c = 1\end{array} \right.\). Vậy \(T = a + b + c = 0 + 2 + 1 = 3\).

Đáp án cần nhập là: \(3\).