Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm A ( 3; 0; -1)

7/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {3;0; - 1} \right)\), \(B\left( {5;0; - 3} \right).\)Viết phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB.\)

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4z + 18 = 0\).

\(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 8\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4z + 12 = 0\).

\(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\).

Giải thích

Gọi \[I\]là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\].

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\\{y_I} = \frac{{0 + 0}}{2} = 0\\{z_I} = \frac{{( - 1) + ( - 3)}}{2} = - 2\end{array} \right.\]. Vậy \[I\left( {4;0; - 2} \right)\].

\(AB = \sqrt {{{(5 - 3)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{( - 3 + 1)}^2}} = 2\sqrt 2 .\)

\(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 = \sqrt 2 .\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\)là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = {(\sqrt 2 )^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4z + 18 = 0\).