Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm A ( 2; -1;1)

8/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\), \(B\left( {5; - 2;4} \right).\)Viết phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB.\)

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x + 3y - 5z + 15 = 0\).

\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = 19\).

\(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{19}}{4}\).

\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{19}}{4}\).

Giải thích

Gọi \[I\]là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\].

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2}\\{y_I} = \frac{{ - 1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{3}{2}\\{z_I} = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\]. Vậy \[I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\].

\(AB = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{( - 2 + 1)}^2} + {{(4 - 1)}^2}} = \sqrt {19} .\)

\(R = \frac{1}{2}AB = \frac{{\sqrt {19} }}{2}.\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\)là: \({\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = {(\frac{{\sqrt {19} }}{2})^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x + 3y - 5z + 16 = 0\).