Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng Δ : x = 2 + t ; y = 3 + t; z = 3 + 2t . Điểm H ( a ; b ; c ) là hình chiếu vuông góc của điểm A ( 2 ; 1 ; 4 ) trên đường thẳng Δ

35/50

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\). Điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {2;1;4} \right)\) trên đường thẳng \(\Delta \). Khi đó giá trị của biểu thức \(a + b - \frac{c}{3}\) bằng (nhập đáp án vào ô trống):

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \). Khi đó: \(H = \Delta \cap \left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 11 = 0\).

Vì \(H \in \Delta \) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + t\\b = 3 + t\\c = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Vì \(H \in \left( P \right)\) nên ta có: \(\left( {2 + t} \right) + \left( {3 + t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) - 11 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow H\left( {2;3;3} \right)\).

Vậy ta có \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 3\) nên \(a + b - \frac{c}{3} = 4\).

Đáp án cần nhập là: 4.