Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: (x − 2)/1 = (y − 1)/2 = (z − 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa Δ và cắt trục Ox, Oy tương ứng tại A, B sao cho hai đường thẳng AB và Δ vuôn

Đáp số: \(0,73\).

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - a;b;0} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {2;1;0} \right)\) và có vécto chỉ phương \({\vec u_\Delta } = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Vì hai đường thẳng \(AB\) và \(\Delta \) vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow {AB} .{\vec u_\Delta } = 0 \Leftrightarrow  - a + 2b = 0 \Leftrightarrow a = 2b\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2b;b;0} \right)\) hay 1 VTCP của đường thẳng \(AB\) là \({\vec u_{AB}} = \left( { - 2;1;0} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(AB\) nên \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_\Delta };{{\vec u}_{AB}}} \right] = \left( {1;2;5} \right)\)

Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(1.\left( {x - 2} \right) + 2.\left( {y - 1} \right) + 5.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 5z - 4 = 0\)

Vậy \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {30} }} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).