Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng Δ : (x − 1)/ 1 = (y − 2)/2 = z /− 2 và mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z − 3 = 0. Gọi α là góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng

Giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương:

                \[\vec u = (1,{\mkern 1mu} 2,{\mkern 1mu} - 2).\]

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến:

                 \[\vec n = (2,{\mkern 1mu} - 1,{\mkern 1mu} 2).\]

Góc \(\alpha \) giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn:

     $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{n}\Vert }.$                                                             

Ta có:

\[\vec u \cdot \vec n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) + ( - 2) \cdot 2 = - 4,\]

                                             \[|\vec u \cdot \vec n| = 4,\]

             $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{1^2+2^2+{(-2)}^2}=3,$ $\Vert \overrightarrow{n}\Vert =\sqrt{2^2+{(-1)}^2+2^2}=3.$                                                

Suy ra:

                \[\sin \alpha = \frac{4}{{3 \cdot 3}} = \frac{4}{9}.\]

Đáp án cần chọn: A.