Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng

22/22

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 3y + z + 2 = 0$ cắt nhau. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\left( d \right)$ và tạo với $\left( P \right)$ một góc nhỏ nhất là $x - 4y + z + m = 0$. Khi đó $m$ bằng bao nhiêu?

Giải thích

$Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng (ảnh 1)$

Ta có d:x=3+2ty=1+tz=−3+2t, gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, ta có phương

trình $3 + 2t - 3.\left( {1 + t} \right) - 3 + 2t + 2 = 0$$ \Leftrightarrow t = 1$. Khi đó $I\left( {5\,;\,2\,;\, - 1} \right)$.

Gọi $M$ là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng $\left( d \right)$$\left( {M \ne I} \right)$, $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $\left( P \right)$ và giao tuyến $\left( \Delta \right)$ của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Khi đó góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$là $\widehat {MKH}$.

$\tan \widehat {MKH} = \frac{{MH}}{{HK}} \ge \frac{{MH}}{{HI}}$. Suy ra $\widehat {MKH}$ nhỏ nhất khi $HK = HI$ hay $I \equiv K$ khi đó $\left( d \right) \bot \left( \Delta \right)$.

$\left( d \right)$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right)$ và $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1\,;\, - 3\,;\,1} \right)$ nên $\left( \Delta \right)$ có

vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_2}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {7\,;\,0\,;\, - 7} \right)\] hay u2→=1 ; 0 ; −1

$\left( Q \right)$chứa $\left( \Delta \right)$ và $\left( d \right)$ nên nhận \[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {1;\, - 4\,;\,1} \right)\]làm vectơ pháp tuyến.

Vậy mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $M\left( {3\,;1\,;\, - 3} \right)$ và nhận \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1\,; - 4\,;\,1} \right)\] làm vectơ pháp tuyến nên có phương

trình

$1.\left( {x - 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + \left( {z + 3} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow x - 4y + z + 4 = 0$.

Vậy $m = 4$.

Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian (có lời giải) - Đề 2

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng