Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x = t ; y = 0 ;z = 4 và điểm A ( 0 ; 6 ; 4 ) . Gọi ( P ) là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng d . Gọi H là hình chiếu vu

34/40

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\) và điểm \(A\left( {0;6;4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\)là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng \(d\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ \(O\) đến điểm \(H\).

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đường thẳng \(d\)đi qua điểm \(K\left( {0;0;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;0;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {KA} = \left( {0;6;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {KA} \cdot \overrightarrow u = 0 \Rightarrow AK \bot d\).

Do đó K là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(d\).

Có \(d \subset \left( P \right)\) và \(AH \bot \left( P \right)\) nên \(AH \bot HK\).

Lại có \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow u = 0\) nên hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) bằng 0.

Do điểm \(A\) có hoành độ bằng 0 nên hình chiếu \(H\) của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) cũng phải có hoành độ bằng 0. Tức là điểm \(H\)nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có \(\widehat {AHK} = 90^\circ \) nên \(H\)luôn nằm trên đường tròn đường kính \(AK\).

Đường tròn này có tâm \(I\left( {0;3;4} \right)\)là trung điểm của \(AK\) và bán kính \(R = \frac{{AK}}{2} = 3\).

Do đó khoảng cách từ O đến H lớn nhất thì \(H\)là giao điểm của tia \(OI\) với đường tròn.

Ta có \(OI = 5\). Khi đó \(O{H_{\max }} = OI + R = 5 + 3 = 8\).

Đáp án cần nhập là: 8.