Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x = 3 − t y = 1 + 2 t z = − 2 + 4 t và mặt phẳng ( P ) : 3 x − y + z − 2 = 0 . Khi đó (a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;4} \right)\).

b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1;1} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1.3 + 2.\left( { - 1} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {231} }}\)\( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 4^\circ \).

c) Ta có M = d  (P).

Vì M  d \( \Rightarrow M\left( {3 - t;1 + 2t; - 2 + 4t} \right)\).

Mà M  (P) nên \(3\left( {3 - t} \right) - \left( {1 + 2t} \right) - 2 + 4t - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 4\).

Suy ra \(M\left( { - 1;9;14} \right)\).

d) Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {6;13; - 5} \right)\).

Mặt phẳng (Q) là mặt phẳng đi qua M và nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;13; - 5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(6\left( {x + 1} \right) + 13\left( {y - 9} \right) - 5\left( {z - 14} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 6x + 13y - 5z - 41 = 0\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.