Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: (x – 2)/(- 1) = (y – 1)/(- 2) =(z + 3)/1 và mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 6y – 3z + 2024 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.                  c) Sai.                    d) Đúng.

a) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1; - 2;1} \right)\).

b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;6; - 3} \right) = 3 \cdot \left( {1;2; - 1} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow n = \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow {{n_P}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

c) Sai.

 sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 1} \right) + 6 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {54} }} = \frac{{18}}{{3 \cdot \sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = 1\).

Vậy góc giữa d và (P) bằng 90°.

d) Đúng. Do d’ \( \bot \) (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow n = \left( {3;6; - 3} \right)\).

 Phương trình tham số của đường thẳng d’ đi qua A(0; 1; 2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3;6; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t'}\\{y = 1 + 6t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).