Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1 + t; y = 2 + t; z = 3 + 3t , (t ∈ ℝ) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – z – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.              b) Sai.                       c) Đúng.                    d) Sai.

a) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).

b) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;3} \right)\).

sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{0}{{\sqrt {66} }} = 0\).

Vậy góc giữa d và (P) bằng 0°.

c) Đúng. Do (P) // (Q) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(−1; 2; −3) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x  + 1) + 2(y – 2) – 1(z + 3) = 0 hay x + 2y – z – 6 = 0.

d) Sai. Do d’ \( \bot \) (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng d’ đi qua điểm B(2; 0; −2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t'}\\{y = 2t'}\\{z = - 2 - t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).