Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1 + 2t; y = 2 + t; z = - 1 - 3t, t ∈ ℝ và mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                     c) Đúng.                      c) Sai.

a) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).

b) Sai. sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt {14} }} = 1\).

Do đó (d, (P)) = 90°.

c) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).

Do \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên d \( \bot \) (P).

Vậy đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Sai. Gọi N(1 + 2t; 2+ t; −1 – 3t) thuộc d.

Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\\{2x + y - 3z - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\\{2 + 4t + 2 + t + 3 + 9t - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{{17}}}\\{y = \frac{{11}}{7}}\\{z = \frac{2}{{17}}}\\{t = \frac{{ - 3}}{7}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(N\left( {\frac{1}{7};\frac{{11}}{7};\frac{2}{7}} \right)\).