Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): (x - 1)/1 = y/2 = (z + 2)/1 và mặt phẳng (P): 3x - y + z - 25 = 0. Một đường thẳng (d') cắt trục Oz tại điểm M, cắt đường thẳng (d) t

Đáp án: 2,71.

\[\begin{array}{l}(d):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{x + 2}}{1}\\ \Leftrightarrow \left( d \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z =  - 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\end{array}\]

\(M \in Oz\), gọi tọa độ điểm M là \(M\left( {0;0;m} \right)\)

\(N \in d\), gọi tọa độ điểm N là \(N\left( {1 + t;2t;t - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \left( {1 + t;2t;t - 2 - m} \right)\\VTPT{\rm{ }}\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 1;1} \right)\end{array}\)

Nên \(3\left( {1 + t} \right) - 2t + t - 2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2t + 1\), vì \(MN\)song song với \(\left( P \right)\)nên \(M \notin (P) \Rightarrow m \ne 25\)

Suy ra \(2t + 1 \ne 25 \Rightarrow t \ne 12\).

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1 + t;2t; - t - 3} \right)\)

\(M{N^2} = 6{t^2} + 8t + 10 \ge \frac{{22}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(t = \frac{{ - 2}}{3}\)(thỏa mãn \(t \ne 12\)) khi đó \(MN = \sqrt {\frac{{22}}{3}}  \approx 2,71\).