Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : (x − 1 )/1 =( y − 2)/ 1 = (z − 1)/ 2 , A ( 2 ; 1 ; 4 ) . Gọi H ( a ; b ; c ) là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. T

40/49

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2},A\left( {2;1;4} \right)\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc \(d\) sao cho \(AH\) có độ dài nhỏ nhất. Tính \(T = {a^3} + {b^3} + {c^3}\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}{\rm{\;}}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.\).

\(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + t;2 + t;1 + 2t} \right)\).

Độ dài

\(AH = \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( {2t - 3} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} - 12t + 11} = \sqrt {6{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 5} \ge \sqrt 5 \).

Độ dài \(AH\) nhỏ nhất bằng \(\sqrt 5 \) khi \(t = 1 \Rightarrow H\left( {2;3;3} \right)\).

Vậy \(a = 2,b = 3,c = 3 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 62\).

Đáp án cần nhập là: \(62\).