Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;1) . Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối

Đáp án B

Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c>0 thì (P) có phương trình xa+yb+zc=1.

Vì M(1;2;1)∈(P)⇒1a+2b+1c=1

Thể tích khối tứ diện OABC là V=16.OA.OB.OC=16abc

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của V=16abc

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số 1a;2b;1c ta có

1a+2b+1c≥32abc4.

⇔1≥323abc3⇔1≥54abc⇔abc≥54

Dấu “=” xảy ra khi {1a=2b=1c1a+2b+1c=1⇔{a=3b=6c=3

Suy ra giá trị nhỏ nhất của V là 16.54=9⇔a=3;b=6;c=3.