Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;3;-1)

39/235

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho điểm \(I\left( {2\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 7}}{2} = \frac{{y + 9}}{1} = \frac{{z + 7}}{{ - 2}}.\) Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \[A,\,\,B\] thoả mãn \(AB = 40\) là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {25^2}.\)

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = {25^2}.\)

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25.\)

\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25.\]

Giải thích

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IH \bot AB \Rightarrow IH = d\left( {I,\,d} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right),\,\,M\left( { - 7\,;\,\, - 9\,;\,\, - 7} \right) \in d.\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} \,,\,\,\overrightarrow {IM} } \right] = \left( {30\,;\,\, - 30\,;\,\,15} \right) \Rightarrow d\left( {I\,,\,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {IM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = 15\).

Bán kính mặt cầu \(R = \sqrt {A{H^2} + {d^2}\left( {I\,,\,\,d} \right)} = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\).

Do đó \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {25^2}.\) Chọn A.