Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; -1), mặt phẳng (P): x + 3y − 2z + 3029 = 0 và đường thẳng d: (x − 1)/2 = (y + 1)/(-1) = (z − 4)/1.

21/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z + 3029 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\), đồng thời cắt \(\left( P \right)\) và \(d\) tương ứng tại \(B\) và \(C\) sao cho \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Biết rằng tọa độ của điểm \(C\) là \(\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 2022

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Vì \(\Delta \cap d = \left\{ B \right\}\) nên \(B\left( {1 + 2t; - 1 - t;4 + t} \right)\).

Do \(C\) là trung điểm \(AB\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( = \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{1 + 1 + 2t}}{2} = 1 + t\\{y_C} = \frac{{2 - 1 - t}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{t}{2}\\{z_C} = \frac{{ - 1 + 4 + t}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{t}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {1 + t;\frac{1}{2} - \frac{t}{2};\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right)\).

Vì \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(1 + t + 3\left( {\frac{1}{2} - \frac{t}{2}} \right) - 2\left( {\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right) + 3029 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2019\).

Suy ra \(C\left( {2020; - 1009;1011} \right)\). Vậy \(a + b + c = 2022\).