Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình

50/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0;8;2 và mặt cầu S có phương trình S:x−52+y+32+z−72=72 và điểm B9;−7;23. Viết phương trình mặt phẳng P qua A và tiếp xúc với S sao cho khoảng cách từ B đến P lớn nhất. Giả sử n→=1;m;nm,n∈ℤ là một vectơ pháp tuyến của P, tính tích m.n.

m.n=2

m.n=−2

m.n=4

m.n=−4

Giải thích

Đáp án D

Cách 1:

Mặt cầu S có tâm I5;−3;7 và bán kính R=62

IA→=−5;11;−5⇒IA=171>62 nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

IB→=4;−4;16⇒IB=122>62 nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.

⇒ A,I,B không thẳng hàng.

Mặt phẳng P qua A và tiếp xúc với S nên khi P thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua A và tiếp điểm tạo thành hình nón.

Gọi AB,P=α⇒dB,P=AB.sinα đạt giá trị lớn nhất A,B,I,H đồng phẳng ⇔AIB⊥P ( H là hình chiếu của B lên P).

Mặt phẳng P qua A và nhận n→=1;m;n làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x+my−nz−8m−2n=0.

Mặt phẳng P tiếp xúc với S⇔dI,P=R.

⇔5n−11m+51+m2+n2=62⇔5n−11m+52=721+m2+n2⇔49m2−47n2−110mn+50n−110m−47=0 1

Ta có: IA→,IB→=156;70;−24.

Gọi n1→ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng AIB, chọn n1→=13;5;−2

Do AIB⊥P⇔n1→.n→=0⇔13+5m−2n=0 2

Thế (2) vào (1) ta được phương trình: 2079m2+8910m+6831=0⇔m=−1m=−68312079l

Thay m=−1 vào (2) suy ra: n=4

Vậy m.n=−4.

Cách 2:

Mặt cầu S có tâm I5;−3;7 và bán kính R=62

Mặt phẳng P qua A và nhận n→=1;m;n làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x+my+nz−8m−2n=0.

Mặt phẳng P tiếp xúc với S:

⇔dI,P=R⇔5n−11m+51+m2+n2=62⇔dB,P=21n−15m+91+m2+n2=5n−11m+5−4m+16n+41+m2+n2≤5n−11m+5+44n−m+11+m2+n2≤62+442+−12+12n2+m2+11+m2+n2=182

Dấu bằng xảy ra khi n4=m−1=11⇔m=−1; n=4

Vậy m.n=−4.