Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(5;0;2),B(5;10;4).Các điểm M,N di động trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài MN = 2. Tổng AM + BN có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Lời giải

Đáp án: \[10\].

Gọi \[H,K\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[A,B\] trên \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\], suy ra \[H\left( {5;0;0} \right),K\left( {5;10;0} \right)\]

\[A'\] đối xứng với \[A\] qua mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\], \[A'\left( {5;0; - 2} \right)\].

Vẽ đường thẳng \[A'E\,{\rm{//}}\,MN,A'E = MN = 2\].

Ta có: \[AM + BN = A'M + BN = EN + BN \ge EB \Rightarrow AM + BN\] nhỏ nhất khi \[E,N,B\] thẳng hàng \[ \Rightarrow A,H,A',M,N,K,B\] đồng phẳng \[ \Rightarrow H,M,N,K\] thẳng hàng,

\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'E}  = \frac{1}{5}\overrightarrow {HK}  \Rightarrow E\left( {5;2; - 2} \right) \Rightarrow BE = 10\]

Tổng  \[AM + BN\] có giá trị nhỏ nhất là \[10\].