Trong không gian với hệ tọa độ oxyz, cho bốn điểm A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;6) và .

30/150

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Oxyz}}\), cho bốn điểm \({\rm{A}}\left( {3\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,{\rm{B}}\left( {0\,;\,\,2\,;\,\,0} \right),\) \({\rm{C}}\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,6} \right)\) và \({\rm{D}}\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\). Kí hiệu d là đường thẳng đi qua \({\rm{D}}\) sao cho tổng khoảng cách từ các điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}\) đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng \[d\] đi qua điểm nào dưới đây?

\[{\rm{M}}\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\].

\({\rm{N}}\left( {5\,;\,\,7\,;\,\,3} \right)\).

\({\rm{P}}\left( {3\,;\,\,4\,;\,\,3} \right)\).

\[Q\left( {7\,;\,\,13\,;\,\,5} \right)\].

Giải thích

Ta có phương trình mặt phẳng qua \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}\) là:

\(\left( {ABC} \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y + z - 6 = 0\).

Dễ thấy \({\rm{D}} \in \left( {ABC} \right)\). Gọi \({\rm{A'}},\,\,{\rm{B'}},\,\,C'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}\) trên \(d.\)

Suy ra \(d\left( {A;\,\,d} \right) + d\left( {B\,;\,\,d} \right) + d\left( {C\,;\,\,d} \right) = AA' + BB' + CC' \le AD + BD + CD\).

Dấu xảy ra khi \({\rm{A'}} \equiv {\rm{B'}} \equiv {\rm{C'}} \equiv {\rm{D}}\).

Hay tổng khoảng cách từ các điểm \({\rm{A}},\,\,{\rm{B}},\,\,{\rm{C}}\) đến \[d\] lớn nhất khi \({\rm{d}}\) là đường thẳng qua \(D\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = 1 + 2{\rm{t}}}\\{{\rm{y}} = 1 + 3{\rm{t}}\,;\,\,{\rm{N}} \in {\rm{d}}.}\\{{\rm{z}} = 1 + {\rm{t}}}\end{array}} \right.\) Chọn B.