trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A( {1; - 1;2}

43/235

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;1;0} \right)\),\(C\left( { - 1;1;1} \right),D\left( {2;3;1} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong không gian thỏa mãn đẳng thức \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 100\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một mặt cầu, mặt cầu đó có bán kính \(R\) bằng bao nhiêu?

\(R = 10\).

\(R = \sqrt {21} \).

\(R = 3\).

\(R = \sqrt {13} \).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Phương trình mặt cầu

Lời giải

Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó:

\(M{A^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2},M{B^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2}\),

\(M{C^2} = {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2},M{D^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2}\).

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 100 \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} - 8x - 8y - 8z + 28 = 100\)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 21 \Rightarrow MI = \sqrt {21} \), với \(I\left( {1;1;1} \right)\).

Vậy tập hợp tất cả các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức đã cho là mặt cầu tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {21} \).