Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng

120/120

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1,t \in \mathbb{R};}\\{z = t}\end{array}} \right.\)\({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = u}\\{z = 1 + u}\end{array},u \in \mathbb{R};} \right.\)\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Điểm \(I\) thuộc \({\rm{\Delta }}\) thoả mãn \(I\left( {a,b,c} \right)\) cách đều \({d_1}\) và \({d_2}\). Khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?

-1.

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tham số hóa tọa độ điểm \(I\)

Sử dụng công thức khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Lời giải

Đường thẳng \({{\rm{d}}_1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}\left( {1;1;0} \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {0;0;1} \right)\)

Đường thẳng \({{\rm{d}}_2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}\left( {2;0;1} \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {0;1;1} \right)\)

Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì \(I \in {\rm{\Delta }}\) nên ta tham số hóa \(I\left( {1 + t;t;1 + t} \right)\), từ đó

\(\overrightarrow {I{M_1}} = \left( { - t;1 - t; - 1 - t} \right),\overrightarrow {I{M_2}} = \left( {1 - t; - t; - t} \right)\)

Theo giả thiết ta có \(d\left( {I;{d_1}} \right) = d\left( {I;{d_2}} \right)\), tương đương với

\(\left| {\frac{{\left[ {\overrightarrow {I{M_1}} ;{u_{{d_1}}}} \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} } \right|}}} \right| = \left| {\frac{{\left[ {\overrightarrow {I{M_2}} ;{u_{{d_2}}}} \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right|}}} \right| \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{(1 - t)}^2} + {t^2}} }}{1} = \frac{{\sqrt {2{{(1 - t)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}\)\( \Leftrightarrow t = 0\)

Suy ra \({\rm{I}}\left( {1;0;1} \right)\).