Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng PQR.

Dễ thấy 1OH2=1OP2+1OQ2+1OR2⇒1OH2=18⇒OH=22.

Khi đó PQR luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính R=22.

Ta có OM=14+34+0=1<R nên điểm M nằm trong mặt cầu S.

Gọi I là trung điểm của AB, do ΔOAB cân tại O nên SΔOAB=12OI.AB.

Đặt OI=x. Vì OI≤OM nên 0<x≤1 và AB=28−x2.

Ta có SΔOAB=12x.28−x2=x8−x2=8x2−x4.

Xét hàm số fx=8x2−x4, 0<x≤1.

Vì f'x=4x4−x2>0 với mọi x∈0;1 nên fx≤f1=7.

Suy ra diện tích của ΔOAB lớn nhất bằng 7 đạt được khi M là trung điểm của AB.

Chọn D.