Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lập hệ phương trình 3 ẩn

Lời giải

Vỉ điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow 2a + 2b - c + 5 = 0\) (*)

Ta có \(:\overrightarrow {MA} = \left( {2 - a; - 1 - b;1 - c} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = MA = \sqrt {{{(2 - a)}^2} + {{( - 1 - b)}^2} + {{(1 - c)}^2}} \)

\(\overrightarrow {MB} = \left( { - a; - 2 - b;3 - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB = \sqrt {{a^2} + {{( - 2 - b)}^2} + {{(3 - c)}^2}} \)

\(\overrightarrow {MC} = \left( {1 - a; - b; - 1 - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = MC = \sqrt {{{(1 - a)}^2} + {b^2} + {{( - 1 - c)}^2}} \)

Theo bài \(MA = MB = MC\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MA = MC}\\{MC = MB}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(2 - a)}^2} + {{( - 1 - b)}^2} + {{(1 - c)}^2} = {{(1 - a)}^2} + {b^2} + {{( - 1 - c)}^2}}\\{{{(1 - a)}^2} + {b^2} + {{( - 1 - c)}^2} = {a^2} + {{( - 2 - b)}^2} + {{(3 - c)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a - 4b + 8c = 11}\\{ - a + b - 2c = - 2}\end{array}} \right.\) (**)

Kết hợp (*), (**) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a - 4b + 8c = 11}\\{ - a + b - 2c = - 2}\\{2a + 2b - c = - 5}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{ - 1}}{2}}\\{b = \frac{{ - 11}}{6}}\\{c = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 11}}{6};\frac{1}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow T = a + 3b - 2c = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{ - 11}}{6}.3 - 2.\frac{1}{3} = - \frac{{20}}{3}\)