Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng

1/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), cho ba điểm không thẳng hàng \(A( - 12;10; - 2)\), \(B( - 4;6;9)\) và \(E(6; - 6;4)\). Để tứ giác ABEF là hình bình hành thì toạ độ điểm \(F\) là

\(( - 14;10; - 15).\)

\(( - 10;10;11).\)

\(( - 22;22;3).\)

\(( - 2; - 2; - 7).\)

Giải thích

Chọn D

Để tứ giác ABEF là hình bình hành, ta cần có cặp vectơ đối bằng nhau: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {FE} \).

Tính vectơ \(\overrightarrow {AB} \): \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}) = ( - 4 - ( - 12);6 - 10;9 - ( - 2)) = (8; - 4;11)\).

Gọi \(F(x;y;z)\), tính vectơ \(\overrightarrow {FE} \): \(\overrightarrow {FE} = ({x_E} - {x_F};{y_E} - {y_F};{z_E} - {z_F}) = (6 - x; - 6 - y;4 - z)\).

Cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {FE} \), ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 - x = 8}\\{ - 6 - y = - 4}\\{4 - z = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 - 8 = - 2}\\{y = - 6 + 4 = - 2}\\{z = 4 - 11 = - 7}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ điểm \(F\) là \(( - 2; - 2; - 7)\).