Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A,B,C

18/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A,B,C\) biết \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\, - 3;\,3} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;\,3;\, - 9} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) thỏa mãn \(2BM = MC\). Gọi \(\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow {AM} \). Tính \(26a + b - 2001c\).

Giải thích

Đáp án: \(2026\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A,B,C (ảnh 1)

Theo bài ra, điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) thỏa mãn \(2BM = MC\) nên ta có: \(2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MC} \).

\( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} \).

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Mà \[2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3;\, - 3;\, - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\].

Khi đó: \(a = 1;\,b = c = - 1\).

Vậy: \(26.1 + \left( { - 1} \right) - 2001.\left( { - 1} \right) = 2026\).