Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2 ; − 1 ; 1 ) , B ( 0 ; − 2 ; 3 ) , C ( 1 ; 0 ; − 1 ) và mặt phẳng ( P ) : 2x + 2y − z + 5 = 0 . Điểm M ( a , b , c ) nằm trên mặt

44/50

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right),B\left( {0; - 2;3} \right),C\left( {1;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 5 = 0\). Điểm \(M\left( {a,b,c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn \(MA = MB = MC\). Tính \(T = a + 3b - 2c\).

\(\frac{{36}}{5}\).

\( - \frac{{36}}{5}\).

\(\frac{{20}}{3}\).

\(\frac{{ - 20}}{3}\).

Giải thích

Vì điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow 2a + 2b - c + 5 = 0\) (*).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - a; - 1 - b;1 - c} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = MA = \sqrt {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - b} \right)}^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} \).

\(\overrightarrow {MB} = \left( { - a; - 2 - b;3 - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - 2 - b} \right)}^2} + {{\left( {3 - c} \right)}^2}} \).

\[\overrightarrow {MC} = \left( {1 - a; - b; - 1 - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = MC = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( { - 1 - c} \right)}^2}} \].

Theo bài \(MA = MB = MC\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MA = MC}\\{MC = MB}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - b} \right)}^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2} = {{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( { - 1 - c} \right)}^2}}\\{{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( { - 1 - c} \right)}^2} = {a^2} + {{\left( { - 2 - b} \right)}^2} + {{\left( {3 - c} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + 2b - 4c = - 4}\\{ - 2a - 4b - 4c = 11}\end{array}} \right.\) (**)

Kết hợp (*), (**) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + 2b - 4c = - 4}\\{ - 2a - 4b - 4c = 11}\\{2a + 2b - c = - 5}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{ - 1}}{{10}}}\\{b = \frac{{ - 5}}{2}}\\{c = - \frac{1}{5}}\end{array}} \right.} \right.\).

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{{10}};\frac{{ - 5}}{2}; - \frac{1}{5}} \right)\]

\( \Rightarrow T = a + 3b - 2c = \frac{{ - 1}}{{10}} + \frac{{ - 5}}{2} \cdot 3 - 2 \cdot \frac{{ - 1}}{5} = - \frac{{36}}{5}\). Chọn B.