Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 0), B(1; 0; 2), C(2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – y + 2z + 7 = 0. (a) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là (2; 1; 1). (b) Mặt phẳ

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2\overrightarrow n \).

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 2;1;1} \right)\).

b) Phương trình mặt phẳng (ABC): \( - 2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + z = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0\).

Thay tọa độ điểm M(3; 1; 5) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được −2.3 + 1 + 5 = 0 (đúng).

Vậy mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow n = - 2.1 - 1.1 + 1.2 = - 1 \ne 0\) nên mặt phẳng (ABC) không vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6 \).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.