Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm A ( 0;1;2)

13/22

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),\,B\left( {2; - 2;1} \right),\,C\left( { - 2;1;0} \right)\). Gọi \[\left( P \right)\]là mặt phẳng đi qua ba điểm \[A,B,C.\] Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {1\,;\,1\,;1} \right)\).

ĐúngSai

Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \(x\, + \,y\, - \,z\, + \,1\, = \,0.\)

ĐúngSai

Mặt phẳng \[\left( P \right)\]cắt trục \[Ox\]tại điểm \[M\left( { - 1;0;0} \right).\]

ĐúngSai

Điểm \[N\left( {1; - 2;0} \right)\]thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\].

ĐúngSai

Giải thích

+ Ta có: \(\overrightarrow {AB} \, = \,\left( {2; - 3; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AC} \, = \,\left( { - 2;0; - 2} \right)\).

AB→,AC→= −3−10−2; −12−2−2; 2−3−20 = 6; 6; −6 . Suy ra \(\overrightarrow n \left( {1\,;\,1\,;1} \right)\)không là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Nên a) sai

+ Chọn \(\overrightarrow {n\,} \, = \frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \,\left( {1;\,1;\, - 1} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\). Ta có pt \(\left( P \right)\)là:

\(x\, + \,y - 1\, - z\, + 2\, = \,0 \Leftrightarrow x\, + \,y\, - \,z\, + \,1\, = \,0\). Suy ra b) đúng

+ \(\left( P \right)\)cắt trục \[Ox\]tại điểm \[M\left( { - 1;0;0} \right).\]Suy ra c) đúng.

+ Thay tọa độ điểm \[N\left( {1; - 2;0} \right)\]vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]ta có \(1\, - 2 - 0\, + \,1\, = \,0\)nên d) đún