Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0;-1) Trong không gian

45/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1),B(3;0;-1), C0;21;-19 và hai mặt cầu (S):(x-1)2+(y-1)2+z-12=1. M(a;b;c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T=3MA2+2MB2+MC2đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a+b+c

a+b+c=145

a+b+c=0

a+b+c=125

a+b+c=12

Giải thích

Đáp án A.

Mặt cầu(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R = 1. Gọi E là điểm thỏa mãn hệ thức 3EA →+2BE →+EC →=O →→E1;4;-3

Ta có T=3MA2+2MB2+MC2=3(ME →+EA →)2+2ME →+EB →2+ME →+EC →2=6ME2+3EA2+EB2+EC2+2ME →(3EA →+2EB →+EC →)

→T=6ME2+3EA2+2EB2+EC2. Do EA, EB, EC không đổi nên T nhỏ nhất khi ME nhở nhất M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu (S).

Ta có IE →=(0;3;4)→ Phương trình IE:x=1y=1+3tz=1-4t(t∈ℝ) . Giao điểm của IE và mặt cầu S thỏa mãn phương trình:

1-12+1+3t-12+(1-4t-1)2=1⇔25t2=1⇔t=±15→M11;85;15M21;25;95

Ta có M11;85;15→M1E=4 và M21;25;95→M2E=6. Vậy M1E<M2E và biểu thức T=3MA2+2MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi M1;85;15

→a=1,b=85,c=15→a+b+c=145