Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).Có bao
Phương pháp giải
Gọi M(x;y;z). Từ điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = 0,}\\{\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {CM} = 0,}\\{\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {AM} = 0,}\end{array}} \right.\)lập hệ phương trình tìm tọa độ điểm M.
Giải chi tiết
Gọi M(x;y;z). Ta có
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = 0,}\\{\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {CM} = 0,}\\{\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {AM} = 0.}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x(x - 2) + y(y - 2) + {z^2} = 0,}\\{{x^2} + y(y - 2) + z(z - 2) = 0,}\\{x(x - 2) + {y^2} + z(z - 2) = 0.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y = 0,}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 2z = 0,}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2z = 0.}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y = 0,}\\{y = x,}\\{z = x.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - 4x = 0,}\\{y = x,}\\{z = x.}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(M(0;0;0),\quad M\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right).\)
Đáp án cần chọn là: B.