Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1; 2; 1), B(2; -1; 3), C(3; 5; -1). Điểm M(a; b; c) trên mặt phẳng (Oyz) sao cho |MA + 2MB - CM| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có a + b + c

101/235

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A( - 1;2;1)\), \(B(2; - 1;3)\), \(C(3;5; - 1)\). Điểm \(M(a;b;c)\) trên mặt phẳng \((Oyz)\) sao cho \(|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} |\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có \(a + b + c\) bằng bao nhiêu? (Đáp án viết dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án _____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là \(\frac{{11}}{4}\)

Phương pháp giải.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Biểu diễn lại phép tính vectơ.

\(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \).

Tìm tọa độ điểm M.

Lời giải chi tiết.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

\(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \).

Nên \(|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} | = |3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} | = |3\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} + 3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} |\).

Gọi N là điểm thỏa \(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0\) nên \(|3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} | = |4\overrightarrow {MN} |\).

Để \(|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} |\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(|4\overrightarrow {MN} |\) đạt giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu của N lên mặt phẳng \((Oyz)\).

Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là. \(G(\frac{4}{3};2;1)\).

\(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3({x_G} - {x_N}) + ({x_B} - {x_N}) = 0}\\{3({y_G} - {y_N}) + ({y_B} - {y_N}) = 0}\\{3({z_G} - {z_N}) + ({z_B} - {z_N}) = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}(3{x_G} + {x_B})}\\{{y_N} = \frac{1}{4}(3{y_G} + {y_B})}\\{{z_N} = \frac{1}{4}(3{z_G} + {z_B})}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot \frac{4}{3} + 2) = \frac{3}{2}}\\{{y_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot 2 - 1) = \frac{5}{4}}\\{{z_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot 1 + 3) = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).

Nên \(N(\frac{3}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{2})\).

Vậy tọa độ điểm M hình chiếu lên \((Oyz)\) là \(M(0;\frac{5}{4};\frac{3}{2})\).

Hay \(a + b + c = 0 + \frac{5}{4} + \frac{3}{2} = \frac{{11}}{4}\).