Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A(2; 1; -1) và hai mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 5 = 0, (K): x + 3y - z + 2 = 0. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Ta có khoảng cách \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.\left( { - 1} \right) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{3}\).

Chọn Sai.

b) Ta có mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow n _P} = \left( {2; - 1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_K}}  = \left( {1;3; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 5;4;7} \right)\), phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là

\( - 5x + 4\left( {y - 1} \right) + 7\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 5x + 4y + 7z - 18 = 0\)\( \Leftrightarrow 5x - 4y - 7z + 18 = 0\)

Chọn Đúng.

c) Ta thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( K \right)\): \(2 + 3.1 - \left( { - 1} \right) + 2 = 8 \ne 0\) nên điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \(\left( K \right)\).

Chọn Sai.

d) Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\left( {2;1; - 1} \right)\) và song song với \(\left( P \right).\)

Ta có mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) song song với \(\left( P \right)\) có dạng \(2x - y + 2z + D = 0\,\left( {D \ne  - 5} \right)\)

mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) đi qua \(A\left( {2;1; - 1} \right)\) nên ta có \(2.2 - 1 + 2.\left( { - 1} \right) + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 1\) (thỏa mãn)

mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) cần tìm là \(2x - y + 2z - 1 = 0\).

Chọn Đúng.