Trong không gian với hệ tọa độ Oxy], cho lăng trụ tứ diện đều $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh đáy bằng

16/22

Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{O}}xyz\], cho lăng trụ tứ diện đều $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh đáy bằng $1$ và chiều cao bằng $x$ sao cho $O \equiv {D_1}$, ${C_1}$ thuộc tia $Ox$, ${A_1}$ thuộc tia $Oy$, $D$ thuộc tia $Oz$.

$Trong không gian với hệ tọa độ Oxy], cho lăng trụ tứ diện đều $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh đáy bằng (ảnh 1)$

Một vectơ pháp tuyến của $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,0;\, - 1} \right)$.

ĐúngSai

Với $x = 3$ thì góc của ${B_1}D$ mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ bằng $60^\circ $.

ĐúngSai

Với $x = 2$ thì góc giữa mặt phẳng $\left( {C{B_1}{D_1}} \right)$ và mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$bằng $45^\circ $.

ĐúngSai

Với $x = 4$ thì góc giữa đường thẳng ${B_1}D$ mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ là lớn nhất.

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai.

Ta có ${D_1}\left( {0;\,0;\,0} \right)$, ${A_1}\left( {0;\,1;\,0} \right)$, C₁(1;0;0), ${B_1}\left( {1;\,1;\,0} \right)$.

$\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)$, $\overrightarrow {{D_1}{C_1}} = \left( {1;\,0;\,0} \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ;\,\overrightarrow {{D_1}{C_1}} } \right] = \left( {0;\,0;\, - 1} \right)$.

b) Sai.

Ta có $D\left( {0;\,0;\,x} \right)$, $\overrightarrow {D{B_1}} = \left( {1;\,1;\, - x} \right)$.

Vì góc của ${B_1}D$ mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ bằng $60^\circ $.

Suy ra $sin\left( {{B_1}D;\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {D{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$ \Leftrightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow x = \sqrt 6 $.

c) Sai.

Ta có $C\left( {1;\,0;\,x} \right),\,\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = \left( {1;\,1;\,0} \right),\,\overrightarrow {{D_1}C} = \left( {1;\,0;\,x} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {C{B_1}{D_1}} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ,\,\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x;\, - x;\, - 1} \right)$.

Vì góc giữa mặt phẳng $\left( {C{B_1}{D_1}} \right)$ và mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$bằng $45^\circ $.

Suy ra $\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

d) Sai

Gọi góc giữa đường thẳng ${B_1}D$ mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ là $\alpha $.

Khi đó $\sin \alpha = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} < 1$.

Không tồn tại $x$để góc giữa đường thẳng ${B_1}D$ mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ lớn nhất.

Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian (có lời giải) - Đề 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy], cho lăng trụ tứ diện đều \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh đáy bằng